Transformasi Fourier Fraksional dan Penerapannya dalam Beberapa Persamaan Diferensial Parsial

Latar Belakang. Transformasi Fourier merupakan alat yang ampuh untuk memecahkan berbagai masalah, khususnya masalah yang berbentuk persamaan diferensial parsial. Transformasi Fourier fraksional merupakan sebuah generalisasi dari transformasi Fourier dengan sebuah parameter orde $\theta$. Penerapan transformasi ini pada penyelesaian persamaan diferensial parsial belum banyak dikaji. Tujuan. Penelitian ini bertujuan mengkaji tentang transformasi Fourier fraksional dan sifat-sifatnya, serta penerapannya pada persamaan diferensial parsial, dengan rincian yaitu: 1) membuktikan sifat-sifat transformasi Fourier fraksional; 2) mengkonstruksi metode transformasi Fourier fraksional dalam penyelesaian dari beberapa persamaan diferensial parsial; 3) menganalisis perbandingan solusi antara metode transformasi Fourier fraksional dengan metode transformasi Fourier biasa. Metode. Penelitian ini dibagi menjadi tiga tahap yaitu: 1) pembuktian sifat-sifat dari transformasi Fourier fraksional; 2) mengkonstruksi penyelesaian dari persamaan panas 1-dimensi dan persamaan Laplace dan menganalisis perbandingan penyelesaian antara metode transformasi Fourier fraksional dengan metode transformasi Fourier biasa; 3) mengkonstruksi penyelesaian dari persamaan panas 2-dimensi dengan metode transformasi Fourier fraksional coupled. Hasil. Sifat-sifat dari transformasi Fourier fraksional diperoleh dengan memodifikasi beberapa sifat-sifat transformasi Fourier ke domain transformasi Fourier fraksional seperti pergeseran, penskalaan, modulasi, konvolusi, dan ketaksamaan, dengan beberapa perubahan. Untuk memperoleh penyelesaian dari masalah panas 1-dimensi dan masalah persamaan Laplace, pertama-tama diberikan definisi transformasi Fourier fraksional, serta teorema terkait, dan membangun hubungan dasar antara teorema konvolusi untuk transformasi Fourier fraksional dan teorema konvolusi untuk transformasi Fourier klasik. Kemudian, dikembangkan hasil dan hubungannya untuk mendapatkan penyelesaian persamaan panas dan persamaan Laplace. Beberapa contoh juga ditunjukkan untuk memverifikasi validitas dari penerapan pendekatan yang digunakan, dengan membandingkan hasil pada transformasi Fourier klasik. Sebagai tambahan, digunakan pula metode sampling sebagai pembanding. Adapun untuk penyelesaian persamaan panas dua-dimensi digunakan transformasi Fourier fraksional coupled, yang merupakan kajian lebih lanjut dari transformasi Fourier fraksional dengan perluasan pada ruang dua dimensi dimana variabel-variabelnya tidak dipisahkan (unseparable) dengan orde berturut-turut adalah $\alpha$ dan $\beta$. Kesimpulan. Transformasi Fourier fraksional digunakan untuk menyelesaikan masalah persamaan panas 1-dimensi dan persamaan Laplace, dimana hasil untuk $\theta=\frac{\pi}{2}$ sama dengan hasil penyelesaian dengan metode transformasi Fourier 1-dimensi. Transformasi Fourier fraksional \textit{coupled} digunakan untuk menyelesaikan masalah persamaan panas 2-dimensi, dimana hasil untuk $\alpha=\beta=\frac{\pi}{2}$ sama dengan hasil penyelesaian dengan metode transformasi Fourier 2-dimensi.